2. О логических парадоксах
Еще древние греки заметили, что рассуждения, с интуитивной точки зрения совершенно правильные, тем не менее могут иногда приводить к противоречиям. Такие рассуждения принято называть логическими парадоксами[1]. Интерес к ним усилился в конце XIX столетия, когда после создания Г. Кантором теории множеств выяснилось, что парадоксы возможны также и в математике. Сейчас мы остановимся на некоторых из них.
1. Парадокс лжеца
Самый старый и самый известный из лог. парадоксов – парадокс лжеца. Как заметил еще в IV в. до н.э. философ мегарской школы Эвбулид, если кто-либо говорит: «Предложение, которое я сейчас произношу, ложно», то из истинности этого предложения следует, что оно ложно, а из ложности – что оно не ложно, т. е. истинно. Это и есть парадокс лжеца.
2. Парадокс Кантора
Кантором было введено понятие мощности множества, позволяющее сравнивать произвольные множества по “количеству” элементов в них подобно тому, как это делается для конечных мн-в. (Напр., множество рац. чисел имеет такую же мощность, как мн-во нат. чисел, а мн-во действительных чисел – большую). Если мн-во А есть подмн-во мн-ва В, то мощность А не больше мощности В. Одна из самых замечательных теорем теории мн-в, доказанная Кантором, состоит в том, что для произвольного мн-ва мощность мн-ва всех его подмн-в больше мощности его самого. – Пусть теперь Μ – мн-во всех мн-в и М' – мн-во всех подмн-в М. Тогда мощность М' больше мощности М. Но всякое подмн-во М также есть мн-во, так что М' есть подмн-во М и, след., мощность М' не больше мощности М.
3. Парадокс Рассела (Bertrand Russell, 1872–1970).
Назовем множество самосодержащим, если оно является своим собственным элементом (пример – множество всех множеств). Пусть R –множество всех несамосодержащих множеств. Тогда, если R – самосодержащее множество, это значит, что R е R, а так как R по определению состоит из несамосодержащих множеств, то и R – несамосодержащее; если же R – несамосодержащее множество, это значит, чтоR $ R, а так как R по определению содержит все несамосодержащие множества, то R – самосодержащее. – Этот парадокс можно сформулировать иначе, пользуясь вместо понятия множества понятием свойства. Некоторые свойства справедливы в отношении самих себя («обладают сами собой»): напр., свойство «быть абстрактным» само абстрактно. Назвав такие свойства «самообладающими», мы можем, рассуждая точно так же, как выше (пусть читатель сделает это сам!), установить, что свойство «быть несамообладающим» не может быть ни самоообладающим, ни несамоообладающим.
4. Парадокс Берри (G. G. Berry).
Некоторые словосочетания русского языка служат названиями конкретных натуральных чисел. (Напр., число 23 можно назвать с помощью словосочетаний «число, на единицу меньшее числа, вдвое большего двенадцати», «наименьшее простое число, большее двадцати» и т. п.) Очевидно, число натуральных чисел, которые можно назвать с помощью словосочетаний, содержащих менее 60 слогов, конечно. Поэтому словосочетание «наименьшее нат. число, кот. нельзя назвать с помощью словосочетания русского языка, содержащего менее 60 слогов» называет некоторое натуральное число. Но само это словосочетание содержит всего 51 слог!
5. Парадокс Ришара (Jules Richard, 1862–1956).
Некоторые словосочетания рус. языка служат определениями функций натурального аргумента, принимающих натуральные значения. (Напр., «сумма делителей данного числа», «число, на единицу большее числа, вдвое большего, чем данное число» и т. п.) Все такие словосочетания можно занумеровать нат. числами, расположив их так, как располагают слова в словарях, и приписав тому словосочетанию, которое окажется первым, номер 1, тому, которое окажется вторым – номер 2 и т.д. Функцию, определяемую словосочетанием, имеющим номер n, будем обозначать fn. Рассмотрим теперь словосочетание «число, на 1 большее значения функции, определяемой словосочетанием, номером которого служит данное число, при значении аргумента, равном данному числу». Это словосочетание определяет некоторую функцию нат. аргумента с нат. значениями и, следовательно, должно получить некоторый номер n0. По опр. функции fn0 имеем fn0(n) = fn0(n) +1 для любого п. Но отсюда следует, в частности, что fn0 (n0) = fn0 (n0) + 1.
* * *
Можно заметить, что понятия, о которых идет речь в рассмотренных парадоксах, имеют общую черту: все они определяются с явным или неявным упоминанием самих определяемых понятий. Содержанием предложения, приводящего к парадоксу лжеца, является утверждение о его собственной ложности. Мн-во всех множеств состоит из элементов, среди которых имеется, в частности, оно само, и так же обстоит дело с любым самосодержащим множеством. В словосочетании, которое служит именем числа, дающего парадокс Берри, фактически идет речь о мн-ве, содержащем это число в качестве элемента. Функция, фигурирующая в парадоксе Ришара, определяется через мн-во всех функций нат. аргумента с нат. значениями, одним из элементов которого является сама эта функция. Т. обр., во всех 5 случаях имеется круг в определении, и естественно предположить, что именно с этой некорректностью связано возникновение парадоксов.
|
